繋がったの星の絆、いつまでも守よ

高量笔记|课程导入,永远比正课听起来好玩的第一课

这学期高量和场论一起上我真是fong球辽,把课堂上的灵魂速记整理一下,方便以后复习。正文部分是课堂内容,斜体部分是我整理的时候的一些疑问,我知道看这个博客的有些是我的师兄师姐,还请不吝赐教Orz。

不过老师迷之眼熟……就是我想不起来是不是上过这个老师的课,总觉得这个讲课风格迷之熟悉。

以上是题外话。

教材:高教社,喀兴林《高等量子力学》
参考教材:北大、复旦大学出版社的两本高量,曾谨言的量子力学第二卷
学时:60学时

第一堂课一般是扯淡(其实重点是扯淡)和讲一下教学计划。

世界上存在两个力学么?

量子力学和经典力学同样都是“力学”,就好像经典力学把所有问题都归结为牛顿的三板斧,用运动方程来刻画一样,量子力学也是用方程来刻画的,不过量子力学比经典力学多了一个东西——波动性

一个不会在以后的课程里过多提及的问题:世界上存在两个力学么?

这个问题详细的表述:我们知道经典力学可以很好地描述“地球绕太阳转成一个椭圆轨道”,量子力学可以很好地描述电子质子中子之间的关系,而地球和太阳无非也是电子质子中子组成的,那么用量子力学可以描述“地球绕太阳转成一个椭圆轨道”吗?

答案是肯定的,假如有一个星球上的生命只懂量子力学,最终他们也可以用量子力学描述星与星之间的关系。 【一个疑问:我怎么记得学热统的时候说知道每一个单粒子的运动状态也不能回溯到最初的状态?就,在某个时间点上把每个粒子的动量反过来,最终也回不到初始状态。这两个结论矛盾吗?】

这背后的秘密其实是玻尔的对应原理:利用经典力学得出的结论,量子力学必须得出同样的结论。

在解决量子力学问题的时候,我们更多在处理波动问题,粒子的波动性很自然地包含了粒子的粒子性。有人形容量子力学是给出结论最精确的理论,这是准确的:量子力学的计算可以做到十分精确,但在概念上却不够直观——海森堡(?)说过:如果谁学习量子力学的时候不产生一点困惑,那他肯定没学懂。

量子力学的几种表述

量子力学建立已经快一百年了,如果把“量子力学建立”这个时间点放在普朗克提出量子假设的时点,那么量子力学已经建立一百多年了。

普朗克最开始是为了解释黑体辐射提出量子假设的,写出来是这样的:

$$ E = h \nu$$

——“如果能量是一份份的就可以很好地解释为什么黑体辐射的曲线会有一个峰。”

后来爱因斯坦拿这个想法解释了光电效应,我们今天说的光子其实就是光量子,然后拿了诺贝尔奖。

再后来德布罗意觉得物质也是个波,于是改了改写成了:

$$ p = \frac{h}{\lambda} $$

再后来薛定谔在一次会议上被问了一个问题:我们现在有德布罗意的物质波了,我们机械波啊电磁波啊,都有个波动方程,这个物质波是不是也得有个什么方程?

然后薛定谔回去猜了一个,写成了:

$$ i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi = \hat{H} \Psi $$

然后这群人都拿了诺贝尔奖。

这是量子力学发展的第一条线,精髓在于:动量确定的态就是一个平面波。

几个表述是可以互相转换的,在学完第一章后,我们可以很自然地从普朗克方程出发,到达薛定谔方程,像薛定谔一样猜一个波动方程出来。

然后比照

$$ E = h \nu \Leftrightarrow i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi = \hat{H} \Psi $$

可以很容易写出:

$$ p = \frac{h}{\lambda} \Leftrightarrow \hat{p} = - i \hbar \frac{\partial}{\partial x}$$

另一条线是海森堡他们的:既然是个力学问题,那么就仿照力学的写法来。最后写出来的形式还真的跟理论力学长得一样,理论力学的形式是这样的:

$$ \dot{p}_i = - \frac{\partial H}{\partial q_i} = [ p_i , H ]$$

$$ \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} = [ q_i , H ]$$

只有一点不同——理论力学里的动量和坐标都是一维的,而在量子力学要变成二维:频率、振幅,写成一个矩阵。

这个运动方程跟薛定谔方程是完全等价的。而海森堡的另一个结论测不准原理

$$ \Delta q_i \Delta p_i \geq \frac{\hbar}{2} $$

则与

$$ \hat{p} = - i \hbar \frac{\partial}{\partial x}$$

有千丝万缕的关系。在学完第二章后,就可以很顺利地在量子力学的两条发展支线之间辗转腾挪。

教学内容

因为砍课时了(……),所以只能挑重点讲。

第一章·希尔伯特空间:一个处理波动性的时候非常好用的线性空间。

第二章·基本原理:讲述量子力学的几大基本原理,包括上面的几种表达之间的对应变换,把量子力学归结到几个公理(?)中,除了大家已经很熟悉的几个原理,还包括现在仍然很活跃的测量公理——观测必然导致对被观测对象的扰动。

第四章·对称性:上面的内容在本科的量子力学课程里都有涉及,总体来说应该不会有什么难度 【嗯??】 ,后面三章开始就是高量全新的内容,它会让你感觉到高量这个课还是比较有分量的 【我开始方了……】

对称性是物理学中很重要的一个概念,最早的表述应该是伽利略的小船:你在一个匀速前进的小船里,当船舱的窗户完全封死看不到外边的时候,你无法通过实验来判断船到底在哪里。

对称性,就是没有什么位置比其他位置要特殊一些。每一个对称性都对应着一个守恒量。上面的船里,坐标的对称性对应着动量守恒。

把你眼睛蒙起来围着一个什么东西转,转了一段时间以后你没法分辨自己在什么位置,这个对称性对应着角动量守恒。

不论处于什么时间,物理定律总是保持不变的,时间的对称性对应着能量守恒——由此可以看出能量守恒是一个很基本很基本的守恒,如果没有能量守恒,也就意味着物理定律在不同的时点会不一样——那就不存在物理学了。 【迷之科幻,记一下梗(喂)】

第七章·二次量子化:实用意义上最有用的一章。从经典力学到量子力学,可以叫第一次量子化,然后这一章里我们要进行第二次量子化,用来处理多粒子系统,在凝聚态和材料物理中经常使用这种方法来处理多粒子体系。

第六章·格林函数:其实并没有太多的时间讲这章 【……】 ,也是很好用的一个办法,在散射理论中用格林函数来处理问题。

因为没有课时了但是建议同学们在课下看的第三章·相对论量子力学,教材把它排在第三章说明这部分内容还是比较浅显易懂的 【???】 ,有几个比较好玩的地方:

$$ E = m c^2$$

大家很熟悉了,但其实在相对论里,m并不是一个定值,考虑

$$m = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1- \nu^2 / c^2}}$$

最后写出来的真实的样子是这样的(下面的 $m$ 实际是 $m_0$ ):

$$ E^2 = m^2 c^4 + p^2 c^2 $$

但你算一下就发现这玩意儿你要开根号很烦,根本没法弄,如果你想找个类似:

$$ E = \alpha m c^2 + \beta \Sigma p_i c$$

之类的参数,别想了,找不到的。

但是狄拉克想到了一个辙——这个参数不用是一个“值”,而是一个“操作”——放矩阵上去,这个式子就写出来了。

后来证明只需要四阶矩阵就可以满足这个要求。

这个事儿后来还引发了一系列问题:这么写,能量可以是负的,负的能量代表啥啊?换一般的物理学家这事儿就算了不想了,但是狄拉克想了一下觉得:负的能量是有的,我们看不到是因为被填平了。

大佬就是大佬。

这个想法引出来了一个概念上的革命:真空不是空的,你可以拉一个正的能量出来,然后剩下一个空穴。就是反物质。

第一章·希尔伯特空间

希尔伯特空间是处理波动性的一个有效方法。

两个波之间可以叠加(加),波还可以调整强度(乘),于是很自然地得到一个线性空间。线性空间意味着在里面计算很方便,不用考虑奇奇怪怪的数学问题。

其实不止波,位移也可以构成一个线性空间。

但线性空间还不是希尔伯特空间,希尔伯特空间更特殊点儿。

怎么构造一个希尔伯特空间?

波是可以做乘法的,波有内积:

$$ \int \phi^* \phi dx $$

如果波能作内积,那么就可以构成一个希尔伯特空间。

波可以叠加那么也就可以分解,我们在希尔伯特空间里可以得到最基本的几个波函数,然后我们用这种方式来描述一个任意的波:基本波函数的叠加。

基矢的叠加带来了一个描述上的变化:偏微分方程变成了波的方程。

一些数学细节

线性空间里有三个波: $\phi$ 、 $\psi$ 、$\chi$

  1. 两个波可以做加法: $ \phi + \psi = \psi +\phi $
  2. 加法的结果跟次序无关: $ \psi + ( \phi + \chi ) = ( \psi + \phi ) + \chi $
  3. 存在0: $ \psi + 0 = \psi $,这里的0不是数字0,是指零波函数,也就是在所有的地方振幅都是0的波
  4. 存在负:对任意 $ \psi $ 有 $ \phi $ ,使得 $ \psi + \phi = 0 $,就是总存在一个反相的波可以跟原来的波抵消,主动降噪耳机就是这么个原理,主动发出一个相反的波;这个 $ \phi $ 叫负波函数,通常写作 $ - \psi $
  5. 数乘: $ \phi = a \psi = \psi a$ ,也就是波的强度改变
  6. 存在一: $ 1 \psi = \psi 1 = \psi $ ,乘1后这个波不会发生改变
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